אלי אביקזר נולד בקזבלנקה שבמרוקו ועלה לישראל בשנת 1963.
תיגרות בין הצעירים היו לדבר שבשגרה ואלי היה מעורב לעיתים מזומנות בקרבות רחוב נגד בודדים ונגד רבים. לניסיונו המעשי, חבר כישרונו יוצא הדופן של אלי בזיהוי ובהבנת תנועות הגוף. הכישרון והניסיון, העקשנות וההתמדה, הביאו את אלי לגדולות.

בנובמבר 1964 בנתניה, החל אלי להתאמן אצל אימי ליכטנפלד מייסדה של תורת קרב המגע והיה לתלמידו הבכיר. באותם הימים לא היו בגדי אימון או חגורות דרגה לקרב מגע, התאמנו בבגדי צבא. בשנת 1965 הוסיף אימי לימודי ג'ודו כחלק מאימוני קרב המגע והמורים המכובדים גדי סקורניק ועמוס גרינשפן הדריכו את אלי בג'ודו. שני אימונים בשבוע לא סיפקו את אלי. בהסכמת אימי ולאחר קבלת חגורה כתומה בג'ודו, נסע אלי בשאר ימי השבוע לתל אביב, להתאמן במכון שאימי הדריך, מכון בושידו בהנהלת אדמונד בוזגלו. אלי המשיך את הלימודים בג'ודו, הוסיף לימודי קראטה וג'אוג'יטסו ויחד עם אימי פיתחו תרגילי קרב מגע בהתאם לידע שנצבר ובמטרה לפשט ולייעל את התרגילים. בשנת 1968 החלו לסמן דרגות בקרב המגע. דרגות החניכים נקבעו על פי הידע בג'ודו. באותה שנה החל אלי אביקזר ללמוד אייקידו אצל אנגלי בשם מייק, ובתוך שנה היה בן זוגו לאימונים. מייק נדהם מהתקדמותו המהירה של אלי והציע לאלי להתאמן בצרפת לקבלת חגורה חומה. בתאריך 1.5.1971 הסמיך אימי לראשונה חגורה שחורה בקרב מגע, החגורה הוענקה לתלמידו הבכיר אלי אביקזר. בסמיכות זמן, קבל אלי חגורה שחורה בג'ודו וכחודש וחצי לאחר מכן נסע לצרפת, וקבל חגורה חומה באייקידו. עם חזרתו ארצה הדריך אלי עם אימי במכון בנתניה ובמכון בתל אביב. בנוסף, הדריכו אימי ואלי בהתנדבות, אימוני קרב מגע מיוחדים ביחידות השונות וביחידות המובחרות בצה"ל. בצה"ל קבלו בברכה ובהערכה אימונים אלה, ובמקביל זכה אלי להכרת הצבא בכישוריו.

בשנת 1974 פרש אימי מפעילות אקטיבית והעניק לאלי אביקזר את המכון לקרב מגע בנתניה. אלי המשיך לפתח תרגילים תוך שמירת המוטו של אימי: "פעל כפי יכולתך, אך פעל נכון", כך שכל אדם, גם החלש, גם המוגבל, יוכל לבצע תרגילי הגנה עצמית.

בשנת 1976 המליץ אימי לצה"ל לגייס את אלי לצבא קבע, כראש מדור קרב מגע. עם כניסתו לתפקיד, פרץ קרב המגע בצה"ל והושרשה המודעות לחשיבות המקצוע. כמות הקורסים גדלה, כל מדריך כושר גופני חוייב בלימודי קרב מגע וחוייב בהדרכת קרב המגע ביחידות. קרב המגע בצה"ל השתפר והשתכלל הן מעצם גיוסו של אלי לתפקיד והן מהפיתוח והשיפור המתמיד של התרגילים ע"י אלי עוד בטרם גוייס לקבע.

קרב המגע היה למקובל ולמקצועי יותר והוכיח את יעילותו ביחידות הלוחמות. אלי המשיך לפתח וליעל את קרב המגע והדריך כ- 80,000 חיילים וכ- 12,000 חיילות עד לפרישתו מצה"ל בשנת 1987.

תוך שירותו הצבאי, נסע אלי בשנת 1977 לגרמניה, להיבחן באייקידו. בסיום המבחנים זכה בדרגת חגורה שחורה מטעם הפדרציה האירופית.

בשנת 1978 נוסדה העמותה לקרב מגע. היה זה אלי אביקזר שניבחר להקים את הוועדות המקצועיות ואת וועדת הדרגות בהסתמך על כישוריו בקרב מגע וניסיונו כפעיל בהתאחדות הג'ודו.

ב-1979 הסמיך אלי לראשונה חגורות שחורות. לתלמידיו הבכירים:

אבי אבסידון ואייל ינילוב.